今天翻到一篇不错的技术分享，看完之后自己也琢磨了一下，把思路梳理记录下来。
本文涉及知识点
预备知识
直径的圆周角等于90度。
因为是等边三角形，故两个红色角相等，两个黄色角相等。
三角形内角和是180度，故两个红色角+两个黄色角之和是180度。
即红色角+绿色角度之和是90度，即圆周角是90度。
第一节 二重积分的概念与性质
一，二重积分的概念
1,曲顶柱体的体积
设有一立体，它的底是xOy面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是z=f(x,y)，这儿f(x,y)
≥
0
\ge 0
≥0且在D上连续。这种立体叫做曲面柱体。
用一组曲线网格把D分成n个小闭合区域
Δ
σ
1
,
Δ
σ
2
⋯
Δ
σ
n
\Delta \sigma_1,\Delta \sigma_2 \cdots \Delta \sigma_n
Δσ1,Δσ2⋯Δσn,分别以这些小闭合区域的边界线为准则，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分成n个细曲顶柱体，当这些小闭合区域的直径很小时，由于f(x,y)连续，对同一个小闭合区域来说，f(x,y)变化很小，这使细曲顶柱体可近似看称平顶柱体。我们对任意
Δ
σ
i
\Delta \sigma_i
Δσi任取一点
(
x
i
,
y
i
)
(x_i,y_i)
(xi,yi)，则曲面柱体体积为：
∑
i
:
1
∞
f
(
x
i
,
y
i
)
Δ
σ
i
\sum_{i:1}^{\infty}f(x_i,y_i)\Delta \sigma_i
i:1∑∞f(xi,yi)Δσi
V
=
lim
λ
=
0
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
,
y
i
)
Δ
σ
i
V=\lim\limits_{\lambda=0}\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i)\Delta \sigma_i
V=λ=0limi=1∑nf(xi,yi)Δσi
λ
是
Δ
σ
i
\lambda是\Delta \sigma_i
λ是Δσi的最大值。
2.平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xOy面上的闭合区域D，它在点(x,y)处的面密度为
υ
(
x
,
y
)
\upsilon(x,y)
υ(x,y),这儿
υ
(
x
,
y
)
>
0
\upsilon(x,y)>0
υ(x,y)>0且在D上连续。现在要计算该薄片的质量m。
m
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
u
(
x
i
,
y
i
)
Δ
σ
i
m=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nu(x_i,y_i)\Delta \sigma_i
m=λ→0limi=1∑nu(xi,yi)Δσi
定义 设f(x,y)是有界区域D上的有界函数。将闭合区域D任意分成n个小闭合区域
Δ
σ
1
,
Δ
σ
2
⋯
Δ
σ
n
\Delta \sigma_1,\Delta \sigma_2 \cdots \Delta \sigma_n
Δσ1,Δσ2⋯Δσn。其中
Δ
σ
i
\Delta \sigma_i
Δσi表示第i个小闭合区域，也表示它的面积。在每个
Δ
σ
i
\Delta \sigma_i
Δσi上任取一点
(
x
i
,
y
i
)
(x_i,y_i)
(xi,yi)作乘积
f
(
x
i
,
y
i
)
Δ
σ
i
,
i
=
1
,
2
,
⋯
n
f(x_i,y_i)\Delta\sigma_i,i=1,2,\cdots n
f(xi,yi)Δσi,i=1,2,⋯n,并做和
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
,
y
i
)
Δ
σ
i
\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i)\Delta \sigma_i
∑i=1nf(xi,yi)Δσi。如果当各小闭合区域种直径的最大值
λ
→
0
\lambda \to 0
λ→0时，这和的极限总存在，且于闭区域D的分法及点
(
x
i
,
y
i
)
(x_i,y_i)
(xi,yi)取法无关，那么称此极限为函数f(x,y)在闭合区域D上的二重积分，记作
∬
f
(
x
,
y
)
d
σ
\iint f(x,y)d\sigma
∬f(x,y)dσ即
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
,
y
i
)
Δ
σ
i
\iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i)\Delta \sigma_i
D∬f(x,y)dσ=λ→0limi=1∑nf(xi,yi)Δσi
其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)
Δ
σ
\Delta \sigma
Δσ叫做被积表达式，
Δ
σ
\Delta \sigma
Δσ叫做面积元素，x和y叫做积分变量，D叫做积分区域，
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
,
y
i
)
Δ
σ
i
\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i)\Delta \sigma_i
∑i=1nf(xi,yi)Δσi叫做积分和。
二重积分的性质
性质1 设
α
,
β
\alpha,\beta
α,β是常数，则：
∬
D
[
α
f
(
x
,
y
)
+
β
g
(
x
,
y
)
]
d
σ
=
α
∬
D
f
(
x
,
y
)
Δ
d
σ
+
β
∬
D
g
(
x
,
y
)
Δ
σ
\iint\limits_{D}[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]d\sigma=\alpha \iint\limits_D f(x,y)\Delta d\sigma +\beta \iint\limits_{D} g(x,y)\Delta \sigma
D∬[αf(x,y)+βg(x,y)]dσ=αD∬f(x,y)Δdσ+βD∬g(x,y)Δσ
性质2(可加性)： 如果闭区域D被有限曲线分为有限各部分闭区域，那么在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分和。
∬
D
f
(
x
,
y
)
Δ
σ
=
∬
D
1
f
(
x
,
y
)
Δ
σ
+
∬
D
2
f
(
x
,
y
)
Δ
σ
\iint\limits_D f(x,y)\Delta\sigma=\iint\limits_{D1} f(x,y)\Delta\sigma+\iint\limits_{D2} f(x,y)\Delta\sigma
D∬f(x,y)Δσ=D1∬f(x,y)Δσ+D2∬f(x,y)Δσ
性质3：如果在D上，f(x,y)=1,
σ
\sigma
σ为D的面积，那么
σ
=
∬
D
1.
d
σ
=
∬
D
d
σ
\sigma=\iint_D 1.d\sigma=\iint_D d\sigma
σ=∬D1.dσ=∬Ddσ
性质4：如果在D上，f(x,y)
≤
\leq
≤g(x,y)，那么有
∬
D
f
(
x
,
y
)
Δ
σ
≤
∬
D
g
(
x
,
y
)
Δ
σ
\iint\limits_D f(x,y)\Delta \sigma \le \iint\limits_D g(x,y)\Delta \sigma
D∬f(x,y)Δσ≤D∬g(x,y)Δσ
性质5：设M和m分别是f(x,y)在闭区域D的最大值和最小值，
σ
\sigma
σ是D的面积，则有
m
σ
≤
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
≤
M
σ
m\sigma \le \iint\limits_Df(x,y)d\sigma \le M\sigma
mσ≤D∬f(x,y)dσ≤Mσ
性质6（二重积分的中值定理)：设函数f(x,y)在闭区域D上连续，
σ
\sigma
σ是D的面积，则在D上至少存在一点(x1,y1)，使得：
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
σ
=
f
(
x
1
,
y
1
)
σ
\iint\limits_D f(x,y)d\sigma=f(x_1,y_1)\sigma
D∬f(x,y)dσ=f(x1,y1)σ
二重积分的及算法
一、利用直角坐标计算二重积分
先积y，再积x或先积x，再积y都可以。
∫
a
b
d
x
∫
ϕ
1
(
x
)
ϕ
2
(
x
)
f
(
x
,
y
)
d
y
=
∫
c
d
d
y
∫
ψ
1
(
y
)
ψ
2
(
y
)
f
(
x
,
y
)
d
x
\int_a^bdx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}f(x,y)dy=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx
∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)f(x,y)dy=∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)f(x,y)dx
例1 计算
∬
D
x
y
d
σ
\iint\limits_Dxyd\sigma
D∬xydσ,其中D是直线y=1,x=2及y=x所围成的区域。
解法一：先x后y。
y的取值范围
[
1
,
2
]
[1,2]
[1,2]，任意给定y,
x
∈
[
y
,
2
]
x\in [y,2]
x∈[y,2]
故二重积分为：
∫
1
2
d
y
∫
y
2
x
y
d
x
\int_1^2dy\int_y^2xydx
∫12dy∫y2xydx
其中
∫
y
2
x
y
d
x
=
[
y
x
2
2
]
∣
y
2
=
2
y
−
y
3
2
\int_y^2xydx=[\frac {yx^2}2]|_y^2=2y-\frac{y^3}2
∫y2xydx=[2yx2]∣y2=2y−2y3
故二重积分=
[
y
2
−
y
4
÷
8
]
∣
1
2
=
2
−
7
8
=
9
8
[y^2-y^4\div 8]|_1^2=2-\frac 7 8=\frac 9 8
[y2−y4÷8]∣12=2−87=89
解法二：先y后x。
x
的取值范围
[
1
,
2
]
，任意给定
x
,
y
∈
[
1
,
x
]
x的取值范围[1,2]，任意给定x,y\in[1,x]
x的取值范围[1,2]，任意给定x,y∈[1,x]
y
的积分和
=
∫
1
x
x
y
d
y
=
[
x
y
2
÷
2
]
∣
1
x
=
x
3
÷
2
−
x
÷
2
y的积分和=\int_1^xxydy=[xy^2\div 2]|_1^x=x^3\div 2-x\div 2
y的积分和=∫1xxydy=[xy2÷2]∣1x=x3÷2−x÷2
∫
1
2
d
x
y
的积分和
=
[
x
4
÷
8
−
x
2
÷
4
]
1
2
=
1
−
(
1
8
−
1
4
)
=
9
8
\int_1^2dx y的积分和=[x^4\div8-x^2\div 4]_1^2=1-(\frac 1 8-\frac 1 4)=\frac 9 8
∫12dxy的积分和=[x4÷8−x2÷4]12=1−(81−41)=89
二、利用极坐标计算二重积分
Δ
σ
i
=
1
2
(
ρ
i
+
Δ
ρ
i
)
2
Δ
θ
−
1
2
ρ
2
Δ
θ
i
\Delta \sigma_i=\frac 1 2(\rho_i+\Delta \rho_i)^2\Delta \theta-\frac 1 2\rho^2\Delta \theta_i
Δσi=21(ρi+Δρi)2Δθ−21ρ2Δθi
=
1
2
2
ρ
i
Δ
ρ
i
Δ
θ
=\frac 1 2 2\rho_i \Delta \rho_i \Delta \theta
=212ρiΔρiΔθ 忽略高阶无穷小
=
ρ
Δ
ρ
Δ
θ
=\rho \Delta \rho \Delta \theta
=ρΔρΔθ
∫
α
β
d
θ
∫
ψ
1
(
θ
)
ψ
2
(
θ
)
f
(
ρ
cos
θ
,
ρ
sin
θ
)
ρ
d
ρ
\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{\psi_1(\theta)}^{\psi_2(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho d\rho
∫αβdθ∫ψ1(θ)ψ2(θ)f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρ
例6 求球体
x
2
+
y
2
+
z
2
≤
4
a
2
x^2+y^2+z^2\le 4a^2
x2+y2+z2≤4a2圆柱面
x
2
+
y
2
=
2
a
x
(
a
>
0
)
x^2+y^2=2ax(a>0)
x2+y2=2ax(a>0)所截得得（含在圆柱面内得部分)立体的体积。
圆柱面的底为
(
x
−
a
)
2
+
y
2
=
a
2
(x-a)^2+y^2=a^2
(x−a)2+y2=a2，即以(a,0)为圆心，a为半径的圆。
圆柱出现在第1，4，5，8 卦限，球出现在8个卦限。且各卦限完全相同。故可以只求第一卦限，之后乘以4。
圆柱面的底用极坐标表示为：
0
≤
θ
≤
π
/
2
,
ρ
=
2
a
cos
θ
0\le \theta \le \pi/2,\rho=2a\cos \theta
0≤θ≤π/2,ρ=2acosθ,由于
ρ
≤
2
a
\rho \le 2a
ρ≤2a，故圆柱的底全部在球面内。
积分函数为：
4
a
2
−
x
2
−
y
2
=
4
a
2
−
ρ
2
\sqrt{4a^2-x^2-y^2}=\sqrt{4a^2-\rho^2}
4a2−x2−y2
=4a2−ρ2
故二重积分为：
∫
0
π
/
2
d
θ
∫
0
2
a
cos
θ
4
a
2
−
p
2
ρ
d
ρ
\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^{2a\cos\theta} \sqrt{4a^2-p^2}\rho d\rho
∫0π/2dθ∫02acosθ4a2−p2
ρdρ
∫
4
a
2
−
p
2
ρ
d
ρ
=
4
a
2
−
ρ
2
(
ρ
2
)
′
d
ρ
÷
2
\int\sqrt{4a^2-p^2}\rho d\rho=\sqrt{4a^2-\rho^2}(\rho^2)'d\rho \div2
∫4a2−p2
ρdρ=4a2−ρ2
(ρ2)′dρ÷2
=
4
a
2
−
ρ
2
2
d
(
ρ
2
)
=
−
4
a
2
−
ρ
2
2
d
(
−
ρ
2
)
=
−
4
a
2
−
ρ
2
2
d
(
4
a
2
−
ρ
2
)
=
−
1
3
(
4
a
2
−
p
2
)
3
2
=\frac{\sqrt{4a^2-\rho^2}}2d(\rho^2)=-\frac{\sqrt{4a^2-\rho^2}}{2}d(-\rho^2)=-\frac{\sqrt{4a^2-\rho^2}}{2}d(4a^2-\rho^2)=-\frac 1 3(4a^2-p^2)^{\frac 3 2}
=24a2−ρ2
d(ρ2)=−24a2−ρ2
d(−ρ2)=−24a2−ρ2
d(4a2−ρ2)=−31(4a2−p2)23
故
ρ
\rho
ρ的积分和为：
−
(
4
a
2
−
4
a
2
cos
2
θ
)
3
2
3
+
1
3
(
2
a
)
3
-\frac{(4a^2-4a^2\cos^2\theta)^{\frac 3 2}}{3}+\frac 1 3(2a)^3
−3(4a2−4a2cos2θ)23+31(2a)3
=
−
1
3
(
2
a
sin
θ
)
3
+
1
3
(
2
a
)
3
-\frac 1 3(2a\sin\theta)^3+\frac 1 3(2a)^3
−31(2asinθ)3+31(2a)3
=
8
a
3
3
(
1
−
s
i
n
3
θ
)
\frac {8a^3}3(1-sin^3\theta)
38a3(1−sin3θ)
∫
0
π
÷
2
(
1
−
s
i
n
3
θ
)
d
θ
=
∫
0
π
÷
2
1
d
θ
−
∫
0
π
÷
2
sin
3
θ
d
θ
\int_0^{\pi \div 2}(1-sin^3\theta)d\theta=\int_0^{\pi \div 2}1d \theta - \int_0^{\pi \div 2}\sin^3\theta d\theta
∫0π÷2(1−sin3θ)dθ=∫0π÷21dθ−∫0π÷2sin3θdθ
=
π
÷
2
−
(
−
cos
θ
+
cos
3
θ
÷
3
)
∣
0
π
÷
2
=
π
2
−
2
3
\pi \div 2-(-\cos \theta+\cos^3 \theta \div 3)|_0^{\pi \div 2}=\frac {\pi}2-\frac 2 3
π÷2−(−cosθ+cos3θ÷3)∣0π÷2=2π−32
故最终答案是：
32
a
3
3
(
π
2
−
2
3
)
\frac {32a^3}3(\frac {\pi} 2-\frac 2 3)
332a3(2π−32)
三重积分
一、三重积分的概念
定义 设f(x,y,z)是空间有界闭区域
Ω
\Omega
Ω上的有界函数。将
Ω
\Omega
Ω任意分成n个小闭合区域
Δ
V
1
,
Δ
V
2
,
⋯
,
Δ
V
n
\Delta V_1,\Delta V_2,\cdots ,\Delta V_n
ΔV1,ΔV2,⋯,ΔVn
其中
Δ
V
i
\Delta V_i
ΔVi表示第i个小闭合区域，也表示它的体积。在每个
Δ
V
i
\Delta V_i
ΔVi上任取一点
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
(x_i,y_i,z_i)
(xi,yi,zi)做乘积
f
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
Δ
V
i
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
f(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i (i=1,2,\cdots ,n)
f(xi,yi,zi)ΔVi(i=1,2,⋯,n),并作和
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
,
y
y
,
z
i
)
Δ
V
i
\sum\limits_{i=1}^nf(x_i,y_y,z_i)\Delta V_i
i=1∑nf(xi,yy,zi)ΔVi,如果当各闭合小区域直径的最大值
λ
→
0
\lambda \to 0
λ→0时，这和的极限总存在。且与闭区域
Ω
\Omega
Ω的分法及点
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
(x_i,y_i,z_i)
(xi,yi,zi)的取法无关，那么称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域
Ω
\Omega
Ω上的三种积分。记作
∭
Ω
f
(
x
,
y
,
z
)
d
V
=
lim
λ
→
0
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
Δ
V
i
\iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)dV=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^nf(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i
Ω∭f(x,y,z)dV=λ→0limi=1∑nf(xi,yi,zi)ΔVi
其中f(x,y,z)叫做被积函数，dV叫做体积元素，
Ω
\Omega
Ω叫做积分区域。
三重积分可化为先对z、次对y、最后对x的三次积分。
二、三重积分的计算
1 利用直角坐标系计算三重积分
2 利用柱面坐标系计算三重积分
3利用球面坐标计算三重积分
0
≤
θ
<
2
π
,
0
≤
ψ
π
,
0
≤
r
<
+
∞
0 \le \theta<2\pi,0 \le \psi \pi, 0\le r < +\infty
0≤θ<2π,0≤ψπ,0≤r<+∞
r是常数，即以原点为球心的球面。
ψ
是常数，即以原点为顶点、
z
轴为轴的圆锥面
\psi是常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面
ψ是常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；
θ
是常数，即过
z
轴的半平面
\theta是常数，即过z轴的半平面
θ是常数，即过z轴的半平面。
x
=
∣
O
P
∣
cos
θ
=
r
sin
ψ
cos
θ
y
=
r
sin
ψ
sin
θ
z
=
r
cos
ψ
x=|OP|\cos\theta=r\sin \psi\cos \theta\\y=r\sin\psi\sin\theta\\ z=r\cos\psi
x=∣OP∣cosθ=rsinψcosθy=rsinψsinθz=rcosψ
r
d
ψ
rd\psi
rdψ
维线方向的变化为：
r
sin
ψ
θ
r\sin\psi\theta
rsinψθ
故
d
v
=
r
2
sin
ψ
d
r
d
ψ
d
θ
dv=r^2\sin\psi dr d\psi d\theta
dv=r2sinψdrdψdθ
三重积分的变量从直角坐标变成求面坐标：
∭
Ω
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
Ω
F
(
r
,
ψ
,
θ
)
r
2
sin
ψ
d
r
d
ψ
d
θ
\iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dxdydz=\iiint\limits_\Omega F(r,\psi,\theta)r^2\sin \psi drd\psi d\theta
Ω∭f(x,y,z)dxdydz=Ω∭F(r,ψ,θ)r2sinψdrdψdθ
第四节 重积分的应用
一，曲面的面积
A
=
∬
D
1
+
f
x
2
(
x
,
y
)
+
f
y
2
(
x
,
y
)
d
σ
=
∬
D
1
+
(
∂
z
∂
x
)
2
+
(
∂
z
∂
y
)
2
d
x
d
y
A=\iint\limits_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}d\sigma=\iint\limits_D\sqrt{1 +(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy
A=D∬1+fx2(x,y)+fy2(x,y)
dσ=D∬1+(∂x∂z)2+(∂y∂z)2
dxdy
薄片的质心
薄片的质心为：
x
ˉ
=
M
y
M
=
∬
D
x
u
(
x
,
y
)
d
σ
∬
D
u
(
x
,
y
)
d
σ
，纵坐标类似
\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\iint\limits_Dxu(x,y)d\sigma}{\iint\limits_Du(x,y)d\sigma}，纵坐标类似
xˉ=MMy=D∬u(x,y)dσD∬xu(x,y)dσ，纵坐标类似
如果时均匀薄板，则：
b
a
r
x
=
1
A
∬
x
d
σ
_{bar}x=\frac 1 A\iint x d\sigma
barx=A1∬xdσ
转到惯量
设xOy平面上有n个质点，它们分别为
(
x
1
,
y
1
)
,
(
x
2
,
y
)
,
⋯
,
(
x
n
,
y
n
)
(x_1,y_1),(x_2,y_),\cdots,(x_n,y_n)
(x1,y1),(x2,y),⋯,(xn,yn)处，质量分别为
m
1
,
m
2
,
⋯
m
n
m1,m2,\cdots m_n
m1,m2,⋯mn处，该质点系对于x轴和y轴的转动惯量为：
I
x
=
∑
i
=
1
n
y
i
2
m
i
,
I
y
=
∑
i
=
1
n
x
i
2
m
i
I_x=\sum_{i=1}^ny^2_im_i,I_y=\sum_{i=1}^nx_i^2m_i
Ix=i=1∑nyi2mi,Iy=i=1∑nxi2mi
引力
空间一物体对于物体外一点
P
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
P_0(x_0,y_0,z_0)
P0(x0,y0,z0)处单位质量的质点的引力坑。
设物体占有空间有界闭区域
Ω
\Omega
Ω,它在点(x,y,z)处的密度为
ρ
(
x
,
y
,
z
)
\rho(x,y,z)
ρ(x,y,z)，并假定
ρ
(
x
,
y
,
z
)
在
Ω
上连续
\rho(x,y,z)在\Omega上连续
ρ(x,y,z)在Ω上连续，在物体内任取一直径很小的闭区域dV(它的体积也记作dV)，(x,y,z)为这一小块中的一点，把这一小块物体的质量pdV近似地看做集中在点(x,y,z)处。于是按两质点间的引力公式，可得这一小块物体对位于
P
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
P_0(x_0,y_0,z_0)
P0(x0,y0,z0)处的单位质量的质点的引力近似认为
F
x
=
∭
D
G
ρ
(
x
,
y
,
z
)
(
x
−
x
0
)
r
3
,
r
=
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
+
(
z
−
z
0
)
2
F_x=\iiint\limits_D\frac{G\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3},r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}
Fx=D∭r3Gρ(x,y,z)(x−x0),r=(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2
Fy,Fz类似。
扩展阅读
我想对大家说的话亲士工具箱：支持AutoCad2013及以上开发中遇到的坑，可以按类别查阅鄙人的算法这篇，请点击《算法与数据汇总》。学算法：按章节学《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作活到老，学到老。明朝中后期，大约50%的进士能当上堂官(副部及更高)；能当上堂官的举人只有十余人。子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
视频课程
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测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用C++实现。
这篇笔记就先到这里，后面用到新的思路或者发现有问题再补充。
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